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方程式とグラフの関係

グラフで見る方程式

前回の記事では、ガソリンの量とガソリン代の関係(一次関数)をグラフにしました。
例えば…ということで、1リットル120円のガソリンをx(リットル)入れたときのガソリン代をy(円)とすると、「y=120x」という式で表すことができ、その式をグラフで表現しました。
また、このように一方の値が決まるともう一方の値も決まる関数は、方程式のようにして必要な数字を求められることにも触れました。

例えば、ガソリン代の予算が3,000円であれば、入れられるガソリンの量は次のような方程式で求めることができます。

y=120x
3,000=120x
120x=3,000
x=25

今回は、この関係をグラフで見るとどのようになるのか、確認していきたいと思います。

2つのグラフの交わる点を計算で求める

前回の記事では、「y=△」という式はグラフ上で横一直線のグラフになることにも触れました。

先ほどのガソリン代の例でいえば、ガソリン代の予算3,000円は「y=3,000」と表すこともできます。

すると、グラフ上には
  • y=3,000
  • y=120x
という2つのグラフを描き入れることができます。
実際に描き入れたグラフが以下の画像です。

この2本の直線が交わる点(交点)のxの値は、先ほど解いた方程式から25であることは分かっています。

このように、2つの式をグラフに描き入れたとき、その交点の座標xとyは、2つのグラフのどちらでも成り立つxとyの組み合わせということができます。

鶴亀算とグラフ

江戸時代から伝えられている典型的な計算問題に「鶴亀(つるかめ)算」があります。

鶴(ツル)の足は1匹につき2本、亀(カメ)の足は1匹につき4本であることを前提に、例えば次のように出題される問題です。
※通常、鳥である鶴は1羽、2羽…と数えますが、出題の表現上、ここでは1匹、2匹…と数えることにします。
鶴と亀が合わせて5匹、足の数が合わせて16本のとき、鶴と亀はそれぞれ何匹ずついるでしょう?

鶴亀算本来の解き方

鶴亀算本来の解き方では、最初に5匹とも鶴か亀だった場合を仮定します。
例えば、5匹とも鶴だった場合、足の数は10本(=2本×5匹)にしかなりません。これでは、足の数が6本足りません。

そこで、鶴のうち1匹を亀に変えてみます。
すると、足が2本の鶴から足が4本の亀に変わる訳ですから、足の数は2本増えます
したがって、亀の内訳が1匹ずつ増えると、足の数が2本ずつ増えるという関係を導き出すことができます。

今回、5匹とも鶴で考えたときには足の数が6本足りなかった訳ですから、「6÷2=3」で、3匹の鶴を亀に変えて、「鶴が2匹、亀が3匹」が正解だと導きます。

一次関数にして、グラフに描き入れてみよう

鶴亀算の概要を見てきましたが、これ以上、鶴亀算を詳しく掘り下げるつもりはありません。
この記事で見たいのは、関数の話です。

ただ、この鶴亀算の状況は2つの関数に置き換えられることに注目してください。
鶴をx(匹)、亀をy(匹)として考えてみましょう。

まず、鶴と亀が合わせて5匹ですから、単純な足し算で次のような式で表すことができます。
 x+y=5

グラフに描きやすいように「y=」の形で書き直すと、

 y=-x+5…(A)

となります。

また、鶴の足の数は2x(本)、亀の足の数は4y(本)として表すこともできるので、以下のような式も導き出すことができます。
 2x+4y=16

これも、グラフに描きやすいように「y=」の形に変形させると、

 4y=-2x+16
  y=-1/2x+4…(B)

となります。

では、これに基づいて(A)と(B)の式をグラフにしてみましょう。 分かりやすいように目盛りをはっきりと書いてみましたが、注目して頂きたいのは2つの式の直線が交わるところです。

まっすぐ視線を下したxの値は2、左に視線を移したyの値は3となり、先ほど鶴亀算で求めた鶴(x)の2匹、亀(y)の3匹と一致しています。

偶然の一致のように書いてしまいましたが、数学的には当然の話であり、2つの式に含まれるxとyをどちらも同時に満たす組み合わせは、グラフの交点のxとyの座標に一致するという関係にあります

従って、xとyを含む2つの式のどちらにも当てはまるようなxとyの値の組み合わせは、2本のグラフに描き表して、その交点の座標から求めることができます。

ただ、いちいちグラフを描くのは大変ですし、数が大きくなると座標の読み間違いなどが出てきて、本当に正しいxとyの組み合わせが求められるのか不安になりそうです。

そこで、グラフに描かずに計算だけで、xとyを含む2つの式のどちらにも当てはまるようなxとyの値の組み合わせを求めることが必要になります。

この求め方は、次回の「連立方程式」の回でご説明することにしましょう。
グラフを描かずに計算でxとyの組み合わせが求められるということは、2つのグラフの交点の座標を計算で求めることができることも意味しますので、お楽しみに。

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