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連立方程式の解き方



連立方程式とは

これまで見てきた方程式では、未知数(具体的な値が分からず、xなどの文字にしているもの)が1つだけのものでした。

ですが、以前の記事で扱った「鶴亀算」のように、未知数が複数の場合も十分に考えられます。
この場合、式が1つだけでは、組み合わせが無数に考えられます

例えば、未知数がxとyの2つであって、以下のような式だったとします。

 x+y=10

この場合、x=1であればy=9x=2であればy=8などのほか、x=0.5であればy=9.5x=(-90)であればy=100のように、小数や分数、マイナスの数なども入れると、無数の組み合わせになってしまいます

ですが、上記の「x+y=10」に加えて、同じxとyの組み合わせで以下の式も成立する場合を考えてみましょう。

 x-y=2

「x-y=2」ということは、「yはxよりも2小さい」ことを意味します。 それと、「xとyを合わせると10」であることも加味すると、xとyの組み合わせは、x=6とy=4の組み合わせしか考えられません

このように、未知数が2つの場合、1つの式では無数に組み合わせが考えられるものの、もう1つの式も並べると、その組み合わせが1つに限定されます。

このようなものを『連立方程式』といいます。

※上記の場合、一次式が2つ連立した方程式なので、正確には『二元一次連立方程式』とい、他にもいろんな状況の連立方程式があるのですが、簿記ではこの『二元一次連立方程式』さえ解ければ事足りるので、これを単に『連立方程式』と呼ぶことにします。

連立方程式の解き方

連立方程式の解き方には、主に2つの解き方があります。
  • 代入法
  • 加減法


連立方程式は、未知数が2つというのがネックになっています。1つになれば、普通の方程式として解くことができる訳ですから、何とかして未知数を1つにすることが、連立方程式の解き方の基本となります。

それぞれ見ていくことにしましょう。

代入法

代入法とは、片方の式にもう片方の式を当てはめる(代入する)方法です。
例えば、以下の連立方程式で考えてみましょう。
  • 2x+5y=25…(A)
  • 3x+y=18…(B)

上記の式のうち、(B)を変形すると、次のように書き表すことができます。

 y=-3x+18…(B)’

こうすると、具体的な数ではないのですが、yという文字と「-3x+18」が等しく置き換え可能であることが分かります。

そこで、このことを(A)の式にある「5y」の「y」の部分に当てはめて(代入して)みましょう
すると、次のような式になります。

 2x+5×(-3x+18)=25

この式を変形していくと…

 2x+(-15x)+90=25
 2x-15x=25-90
 -13x=-65
  x=5

となり、x=5であることが分かります。

x=5であることが分かってしまえば、未知数の1つが判明して、残り1つの未知数yを普通の方程式のように解けば良いことになります。

例えば、(B)の式に「x=5」であることを代入してみましょう。
※もちろん、(A)の式に代入しても同じ答えを導くことができます。

すると、
 3×5+y=18 となるので、
 15+y=18
y=18-15
   y=3
と解くことができます。

以上より、この連立方程式の答え(これを「解」といいます)は「x=5,y=3」であることが分かります。

これまでの流れをまとめると、以下のようになりますので、ご確認下さい。

加減法

代入法で見た連立方程式と同じものを、今度は加減法という別の方法で解いてみましょう。
  • 2x+5y=25…(A)
  • 3x+y=18…(B)

上記の連立方程式法では、2つの式のxとyの前についている数字(これを「係数」といいます)がバラバラになっています。
これを揃えてあげると考えやすくなるというのが加減法の発想のスタートです。

今回は、「y」の方に着目し、(B)の式の「y」を5倍して(A)の式の「5y」と揃えることを考えてみましょう。
ただ、(B)の式の「y」だけを5倍にすると「=」で結ばれた関係が崩れてしまいます。

そこで、(B)の式全体を5倍してあげます
それが、以下の(B)’の式です。

 15x+5y=90…(B)’

これと(A)の式を並べてみましょう。
  • 2x+5y=25…(A)
  • 15x+5y=90…(B)’

見比べると、「5y」が並んでいますので、同じ数を引き算してあげると消えそうです。 という訳で、筆算のように並べて引き算をしてあげます。

その結果、以下のような式が残りますから、普通の方程式のように解くことができます。

 -13x=-65
   x=5

x=5」と分かれば、あとは代入法と同じようにどちらかの式のxに5を代入して、残りのyを求めてあげます。

こちらの方法で解を求めるまでの一連の流れをまとめると、次のようになります。

なお、今回は引き算をしたので、それだけでは「加減法」というネーミングがピンとこないかもしれません。

ただ、次のような連立方程式の場合には、引き算ではなく足し算を行うことで、未知数の1つを消して解いていくことになります。
  • -3x+5y=9…(A)
  •  3x+2y=12…(B)

このような連立方程式の場合、「-3x」と「3x」を足し算することでゼロ、すなわち消すことができるので、先ほどのような形で引き算ではなく足し算をすることで、未知数のうちの1つであるxを消します。

すると、「7y=21」という式が残るので、ここから「y=3」を導き出し、次いで「x=2」という解を導き出します。

連立方程式によって足したり引いたりするので「加減法」と呼ばれます。

練習問題にチャレンジ

ここまで見てきた連立方程式の解き方を参考に、以下の練習問題にチャレンジしてみて下さい。 なお、問題文の画像をクリック(タップ)すると、途中式を含む解答を確認することができます。

問題1


問題2

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